Sistema Métrico Decimal

O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro.

O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.

Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição.

Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa.

Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas.

Então no ano de 1971, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Foi desenvolvido o sistema métrico decimal.

* O metro

O termo “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Estabeleceu-se no princípio que a medida do “metro” seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo em um determinado período de tempo.

* As primeiras medições

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos?

Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços.

Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada.

Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio.

Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas.

Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”.

Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”.

* Múltiplos e submúltiplos do Metro

Como o metro é a unidade fundamental do comprimento, existem evidentemente os seus respectivos múltiplos e submúltiplos.

Os nomes pré-fixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo, hecto, deca, centi e mili.

Veja o quadro:

Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias.

No caso de haver necessidade de fazer medições milimétricas, onde a precisão é fundamental, podem-se utilizar as seguintes medições:

No caso de haver necessidade de fazer medições astronômicas, pode-se utilizar a seguinte medição:

Ano-Luz é a distância percorrida pela luz em um ano.

* Nomes e funções de algumas medidas

* Leitura das Medidas de comprimento

Podemos efetuar a leitura corretas das medidas de comprimento com auxilio de um quadro chamado “quadro de unidades”.

Exemplo: Leia 16,072 m

Após ter colocado os respectivos valores dentro das unidades equivalentes, lê-se a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal com a unidade de medida o último algarismo.

Veja outros exemplos de leitura:

8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros”

72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros”

0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros”

* Transformar unidades

Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados.

Observe a tabela abaixo:

Agora observe os exemplos de transformações

1) Transforme 17,475hm em m

Para transformar hm (hectômetro) em m (metro) - observe que são duas casas à direita - multiplicamos por 100, ou seja, (10 x 10).

17,475 x 100 = 1747,50

Ou seja:

17,475 hm é = 1747,50m

2) Transforme 2,462 dam em cm

Para transformar dam (Decâmetro) em cm (Centímetro) – observe que são três casas à direita – multiplicamos por 1000, ou seja, (10 x 10 x 10).

2,462 x 1000 = 2462

Ou seja:

2,462dam é = 2462cm

3) Transforme 186,8m em dam.

Para transformar m (metro) em dam (decâmetro) – observe que é uma casa à esquerda – dividimos por 10.

186,8 ÷ 10 = 18,68

Ou seja:

186,8m é = 18,68dam

4) Transforme 864m em km.

Para transformar m (metro) em km (Kilômetro) – observe que são três casas à esquerda – dividimos por 1000.

864 ÷ 1000 = 0,864

Ou seja:

864m é = 0,864km

Obs. Os quadros das medidas foram colocados em cada operação repetidamente, de propósito, para que haja uma fixação, pois é fundamental conhecer “decoradamente” estas posições.

Matemática Na Grécia

Nos documentos históricos sobre a matemática grega, como já descreveu Wallis, não se encontram indicações da natureza do raciocínio utilizado para se alcançar os resultados. Tudo é expresso de forma limpa, direta, perfeita, o que não condiz, é claro, com a realidade na solução de problemas. Segundo Wallis, sobre Arquimedes: "é como se seu propósito fosse apagar os rastros de suas investigações, como se ele tivesse negado à posteridade o segredo de seus métodos de inquirir enquanto desejava extorquir deles anuência para os seus resultados".

Considera-se que a matemática grega começou com Tales (c. 585 a.C.) e com Pitágoras (c.550 a.C.). As informações sobre os matemáticos daquele tempo até Platão (c. 347 a.C.) foram obtidas de testemunhos, de depoimentos que não forneciam os métodos e as provas das conquistas alcançadas.

Tales é considerado o primeiro matemático, pois lhe são atribuídas descobertas matemáticas específicas. Sabe-se que Tales viajou ao Egito e Babilônia onde teria aprendido que um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. No entanto, atribui-se a ele a demonstração desse teorema e de outros quatro da geometria. Por isso Tales foi considerado o originador da organização dedutiva da geometria.

Credita-se aos gregos, com segurança, a introdução da estrutura lógica à geometria, mas não se sabe se devido à Tales ou a outros depois dele.

Outro personagem de destaque no mundo grego é Pitágoras. Este não era só um matemático, mas um filósofo, envolvido especialmente com religião e até mesmo política. Contemporâneos de Pitágoras são Buda, Confúcio e Lao-Tse, caracterizando, portanto, esse tempo como de intensa atividade religiosa.

Pitágoras, de volta do Egito e Babilônia (como Tales), fundou uma sociedade secreta que tinha base matemática e filosófica. Não se costuma falar em descobertas de Pitágoras, mas sim dos pitagóricos, pois a sociedade por ele fundada, além de secreta tinha por norma que o conhecimento era comunitário, não sendo atribuído a um autor apenas.

Uma característica notável na escola pitagórica era a confiança no estudo da matemática e da filosofia como base moral para a conduta.

As palavras filosofia ("amor à sabedoria") e matemática ("o que é aprendido"), supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras.

Os pitagóricos desempenharam um importante papel na história da matemática porque mudaram radicalmente a concepção egípcia e babilônia. A matemática, para os pitagóricos era incluída na definição de filosofia, os rituais a que eram submetidos tinham muito de matemática. Para o egípcios e babilonios a aritmética tinha muito mais a ver com situações práticas e concretas.

Segundo Aristóteles, para os pitagóricos o número significava matéria. Assim, eles chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície de três e um sólido de quatro. A soma de pontos gerava retas, a de retas, superfícies e a de superfícies, sólidos. De maneira que com seus um, dois, três e quatro, poderiam construir o universo! O número 10 era especial para os pitagóricos, pela crença conhecida como tetractys (conjunto de quatro). Pitágoras dizia que contar 1, 2, 3, até 4 era igual a 10, um triângulo perfeito "nosso juramento": "ele que tem confiado a tetractys à nossa alma, a fonte e a raiz da natureza eterna".

Realmente, os pitagóricos revolucionaram o pensamento matemático, pela evidente característica filosófica que lhe atribuíram.

No século III a.C. estabeleceu-se a estrutura axiomática da matemática, com Euclides, que unificou uma coleção completa de teoremas isolados num sistema simples e dedutivo. Baseando-se em postulados iniciais, definições e axiomas.

Assim começa a real abstração matemática, discutindo-se a existência ou não do infinito, os números infinitesimais, os paradoxos de Zenon, e as relações do universo.

Por: Alunos do curso de Licenciatura em Ciências Exatas da USP de São Carlos.

A História Do Número De Ouro

      O número de ouro ou "proporção áurea" é um número irracional, sendo um  dos números mais misteriosos  enigmáticos, que surge numa infinidade de elementos da natureza sob a forma de uma razão. É considerado, por muitos, como uma oferta de Deus ao mundo.

       Nos Elementos de Euclides, a obra mais influente de toda a história da Matemática, aparece um segmento de recta dividido em duas partes

em que:

Por outras palavras:

A razão entre o segmrento inteiro ( a + b )  e a parte maior ( a )

é igual à razão entre as partes maior ( a ) e menor ( b ).

 

em que o  seu valor exacto é:

(Cálculo do número de ouro)

      A designação adoptada para este número ( phi maiúsculo ) é a inicial do nome Phídias que foi o escultor e arquitecto encarregado da construção do Parthenon, tendo utilizado o número de ouro em muitas das suas obras. O símbolo do número de ouro foi primeiramente usado, no início do séc. XX, por Mark Barr, em honra deste escultor, devido ao uso que dava a esta proporção.

      A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egipto as Pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão aurea:

 A razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. Para além disto cada pedra era 1,618 (valor aproximado de phi) menor que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que da 3ª  fileira e assim por adiante.

                 O Papiro de Rhind ( egípcio ) refere-se a uma " razão sagrada " que se crê ser o número de ouro. Esta razão ousecção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.

                 Durante anos o homem procurou a beleza pefeita, a proporção ideal. E neste contexto, os gregos criaram orectângulo de ouro ( ou rectângulo áureo ). Este rectângulo, cujos lados  (maior pelo menor) obedecem a uma razão entre si igual ao número de ouro, pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo com as mesmas proporiedades (a razão entre os lados é o número de ouro).    Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante. 

                Se unirmos os os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma espiral, chamada espiral dourada. Assim, o  rectângulo de ouro expressa movimento uma vez que permanece numa   espiral(logarítmica) até ao infinito e mostra beleza porque a razão de ouro é agradável à vista. Foi a partir desta razão (razão áurea) que tudo começou a ser construído! 

                   Assim, entre 447 e 433 a. C., na Grécia foi construído o Parthenon Grego, templo representativo do século de Péricles e contém a razão de ouro no rectângulo que contém a fachada (largura/ altura), o que revelava a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O  escultor e arquiteto encarregado da construção deste templo foi Phídias.

             Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal (ou pentagrama). Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea.

        Chamando os vertices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem os seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B, e C tem a sua base em relação dourada com os lados.

     Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que " tudo é número ", ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos.

            Os Pitagóricos não conseguiram exprimir o número de ouro como cociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágno regular inscritos numa circunferência.  Ou seja, não conseguiram exprimir como cociente entre dois números inteiros o numero de ouro. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.

          Foi o primeiro número irracional que se teve consciência que o era...

         Durante milénios, a arquitectura clássica grega prevaleceu. O rectângulo de ouro era o padrão, mas depois de muito tempo veio a construção gótica com formas arredondadas que não utilizavam o rectângulo de ouro grego...

     Mas no fim da Idade Média..., em 1200, Leonardo Fibonacci (ou Leonardo de Pisa), um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provalmente a mais famosa sequência matemática (a sequência de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos, Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores, em que os dois primeiros números são 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fêmea): 

1,   1,    2,    3,     5,     8,    13 ,    21, ...

          Aqui é que entra a coincidência! As razões entre um número desta sequência e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro: 1,618. 

1/1 = 1;    2/1 = 1;    3/2 = 1,5;    8/5 = 1,6;      13/8 = 1,625;     21/13 = 1,6184

        Estas razões variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618. exactamente  a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro. Assim, a proporção de crescimento média da série é 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os ciêntistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

    Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro foi Pacoli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro  a ter um retrato autêntico. Pacoli publicou, em 1509, uma edição que teve pouco sucesso de Euclides e um trabalho com o título de Divina Proporcione. Este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.

    Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea com garante da perfeição, beleza e harmonia únicas. Como cientista, pegava em cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a DIVINA PROPORÇÃO do que o corpo humano... obra prima de Deus:

POR EXEMPLO:

• mede a tua altura e depois divide pela altura do teu umbigo até ao chão; divide o maior valor pelo menor: o resultado é 1,618.
• mede o seu braço inteiro e depois divide pelo tamanho do teu cotovelo até ao dedo; o resultado é 1,618.
• mede os teus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até à ponta ou da dobra central até à ponta dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618.

Proporções áureas numa mão

• mede a tua perna inteira e divide pelo tamanho do teu joelho até ao chão; o resultado é 1,618.
• a altura do teu crânio dividido pelo tamanho da tua mandíbula até ao alto da cabeça;  o resultado é 1,618.
• da tua cintura até á cabeça e depois só o tórax; o resultado é 1,618.

   Experimenta: Assim poderás verificar se és matematicamente perfeito(a)!!!

           Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. Seria Deus, usando um conceito maior de beleza em sua maior criação feita a sua imagem e semelhança?

    Estas proporções anatómicas foram bem representadas pelo Homem do Vitruvio, obra de Leonardo Da Vinci.

     O número de ouro é muito apreciado pelos artistas, arquitetos e músicos, uma vez que está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

 Outros exemplos aonde está presente o número de ouro: 

• Figuras geométricas

  -- O decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

 -- O pentágono regular (já referido)

• Animais

 -- A população de abelhas: proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colmeia.

-- A Concha do Caramujo Náutilo: a proporção em que cresce o raio interior da concha desta espécie de caramujo.

 -- Está também presente nas escamas de peixes, presas de elefantes...

• Vegetais

 -- Nos girassóis da família Compositae, as sementes formam dois conjuntos de espirais logarítmicas com sentidos diferentes. Cada conjunto tem um número de sementes e dois conjuntos tem dois números de sementes que consecutivos de Fibonacci.

-- O mesmo acontece com as pinhas...

-- em geral, o modelo de desenvolvimento das plantas pode ser relacionado com o número de Fibonacci. Por exemplo, a Eufórbia, uma planta com um pequena flor azul ou branca que se encontra em solos calcários, tem 2 pétalas grandes, 3 pétalas pequenas, 5 pétalas e 8 estames.

• Arte e Arquitetura

       Desde tempos remotos que o número de ouro é aplicado na arte. O rectângulo de Ouro é reconhecido como sendo a forma visualmente mais equilibrada e harmoniosa. O número de ouro traduz a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitectura clássicas, renascentistas e pós-modernistas que se baseia no seguinte princípio:

"seccionar um segmento de recta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo".

    Leonardo da Vinci, um homem de ciência afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este fim, Leonardo utilizou extensivamente o rectângulo de Ouro nas suas obras.

Vejamos um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci : Mona Lisa.

 

O rectângulo de Ouro está presente em múltiplos locais:

- Desenhando um rectângulo à volta da face  o   rectângulo resultante é um rectângulo de Ouro;

- Dividindo este rectângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo rectângulo obtido também é de Ouro; 

- As dimensões do quadro também representam a razão de Ouro;

        Um outro artista que utiliza muito este número na sua pintura, mas desta vez contemporâneo, é o pintor Norte Americano Piet Mondrian.

                          Um exemplo de Piet Mondrian:

        Na arquitectura esta razão está presente numa imensidão de construções. Desde as pirâmides do Egipto, passando por um sem número de templos até aos nossos dias. Um exemplo que ilustra bem a sua utilização é o edifício das Nações Unidas.

- Música

    O número de ouro está presente nas famosas sinfonias como a 5ª e 9ª de Bethoven e em outras diversas obras.

- Fractais

         A sucessão de Fibonacci é o exemplo de um Fractal obtido a partir da sucessão infinita binária de 0 e 1:

101101011011010110...

- Música

      Actualmente a proporção áurea ainda é muito usada. A padronizar internacionalmente as medidas usadas em nosso dia-a-dia, os ciêntistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um cartão multibanco, alguns livros, Jornal, foto revelada...