A História Do Número De Ouro

      O número de ouro ou "proporção áurea" é um número irracional, sendo um  dos números mais misteriosos  enigmáticos, que surge numa infinidade de elementos da natureza sob a forma de uma razão. É considerado, por muitos, como uma oferta de Deus ao mundo.

       Nos Elementos de Euclides, a obra mais influente de toda a história da Matemática, aparece um segmento de recta dividido em duas partes

em que:

Por outras palavras:

A razão entre o segmrento inteiro ( a + b )  e a parte maior ( a )

é igual à razão entre as partes maior ( a ) e menor ( b ).

 

em que o  seu valor exacto é:

(Cálculo do número de ouro)

      A designação adoptada para este número ( phi maiúsculo ) é a inicial do nome Phídias que foi o escultor e arquitecto encarregado da construção do Parthenon, tendo utilizado o número de ouro em muitas das suas obras. O símbolo do número de ouro foi primeiramente usado, no início do séc. XX, por Mark Barr, em honra deste escultor, devido ao uso que dava a esta proporção.

      A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egipto as Pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão aurea:

 A razão entre a altura de uma face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. Para além disto cada pedra era 1,618 (valor aproximado de phi) menor que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que da 3ª  fileira e assim por adiante.

                 O Papiro de Rhind ( egípcio ) refere-se a uma " razão sagrada " que se crê ser o número de ouro. Esta razão ousecção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade.

                 Durante anos o homem procurou a beleza pefeita, a proporção ideal. E neste contexto, os gregos criaram orectângulo de ouro ( ou rectângulo áureo ). Este rectângulo, cujos lados  (maior pelo menor) obedecem a uma razão entre si igual ao número de ouro, pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo com as mesmas proporiedades (a razão entre os lados é o número de ouro).    Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante. 

                Se unirmos os os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma espiral, chamada espiral dourada. Assim, o  rectângulo de ouro expressa movimento uma vez que permanece numa   espiral(logarítmica) até ao infinito e mostra beleza porque a razão de ouro é agradável à vista. Foi a partir desta razão (razão áurea) que tudo começou a ser construído! 

                   Assim, entre 447 e 433 a. C., na Grécia foi construído o Parthenon Grego, templo representativo do século de Péricles e contém a razão de ouro no rectângulo que contém a fachada (largura/ altura), o que revelava a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O  escultor e arquiteto encarregado da construção deste templo foi Phídias.

             Os Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal (ou pentagrama). Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea.

        Chamando os vertices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem os seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B, e C tem a sua base em relação dourada com os lados.

     Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que " tudo é número ", ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos.

            Os Pitagóricos não conseguiram exprimir o número de ouro como cociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágno regular inscritos numa circunferência.  Ou seja, não conseguiram exprimir como cociente entre dois números inteiros o numero de ouro. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.

          Foi o primeiro número irracional que se teve consciência que o era...

         Durante milénios, a arquitectura clássica grega prevaleceu. O rectângulo de ouro era o padrão, mas depois de muito tempo veio a construção gótica com formas arredondadas que não utilizavam o rectângulo de ouro grego...

     Mas no fim da Idade Média..., em 1200, Leonardo Fibonacci (ou Leonardo de Pisa), um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provalmente a mais famosa sequência matemática (a sequência de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos, Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores, em que os dois primeiros números são 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fêmea): 

1,   1,    2,    3,     5,     8,    13 ,    21, ...

          Aqui é que entra a coincidência! As razões entre um número desta sequência e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro: 1,618. 

1/1 = 1;    2/1 = 1;    3/2 = 1,5;    8/5 = 1,6;      13/8 = 1,625;     21/13 = 1,6184

        Estas razões variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618. exactamente  a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro. Assim, a proporção de crescimento média da série é 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os ciêntistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

    Outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro foi Pacoli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro  a ter um retrato autêntico. Pacoli publicou, em 1509, uma edição que teve pouco sucesso de Euclides e um trabalho com o título de Divina Proporcione. Este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.

    Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a de Leonardo Da Vinci. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea com garante da perfeição, beleza e harmonia únicas. Como cientista, pegava em cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a DIVINA PROPORÇÃO do que o corpo humano... obra prima de Deus:

POR EXEMPLO:

• mede a tua altura e depois divide pela altura do teu umbigo até ao chão; divide o maior valor pelo menor: o resultado é 1,618.
• mede o seu braço inteiro e depois divide pelo tamanho do teu cotovelo até ao dedo; o resultado é 1,618.
• mede os teus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até à ponta ou da dobra central até à ponta dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618.

Proporções áureas numa mão

• mede a tua perna inteira e divide pelo tamanho do teu joelho até ao chão; o resultado é 1,618.
• a altura do teu crânio dividido pelo tamanho da tua mandíbula até ao alto da cabeça;  o resultado é 1,618.
• da tua cintura até á cabeça e depois só o tórax; o resultado é 1,618.

   Experimenta: Assim poderás verificar se és matematicamente perfeito(a)!!!

           Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção. Seria Deus, usando um conceito maior de beleza em sua maior criação feita a sua imagem e semelhança?

    Estas proporções anatómicas foram bem representadas pelo Homem do Vitruvio, obra de Leonardo Da Vinci.

     O número de ouro é muito apreciado pelos artistas, arquitetos e músicos, uma vez que está presente na natureza, no corpo humano e no universo.

 Outros exemplos aonde está presente o número de ouro: 

• Figuras geométricas

  -- O decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

 -- O pentágono regular (já referido)

• Animais

 -- A população de abelhas: proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colmeia.

-- A Concha do Caramujo Náutilo: a proporção em que cresce o raio interior da concha desta espécie de caramujo.

 -- Está também presente nas escamas de peixes, presas de elefantes...

• Vegetais

 -- Nos girassóis da família Compositae, as sementes formam dois conjuntos de espirais logarítmicas com sentidos diferentes. Cada conjunto tem um número de sementes e dois conjuntos tem dois números de sementes que consecutivos de Fibonacci.

-- O mesmo acontece com as pinhas...

-- em geral, o modelo de desenvolvimento das plantas pode ser relacionado com o número de Fibonacci. Por exemplo, a Eufórbia, uma planta com um pequena flor azul ou branca que se encontra em solos calcários, tem 2 pétalas grandes, 3 pétalas pequenas, 5 pétalas e 8 estames.

• Arte e Arquitetura

       Desde tempos remotos que o número de ouro é aplicado na arte. O rectângulo de Ouro é reconhecido como sendo a forma visualmente mais equilibrada e harmoniosa. O número de ouro traduz a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitectura clássicas, renascentistas e pós-modernistas que se baseia no seguinte princípio:

"seccionar um segmento de recta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo".

    Leonardo da Vinci, um homem de ciência afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Para se atingir este fim, Leonardo utilizou extensivamente o rectângulo de Ouro nas suas obras.

Vejamos um dos quadros mais célebres de Leonardo da Vinci : Mona Lisa.

 

O rectângulo de Ouro está presente em múltiplos locais:

- Desenhando um rectângulo à volta da face  o   rectângulo resultante é um rectângulo de Ouro;

- Dividindo este rectângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo rectângulo obtido também é de Ouro; 

- As dimensões do quadro também representam a razão de Ouro;

        Um outro artista que utiliza muito este número na sua pintura, mas desta vez contemporâneo, é o pintor Norte Americano Piet Mondrian.

                          Um exemplo de Piet Mondrian:

        Na arquitectura esta razão está presente numa imensidão de construções. Desde as pirâmides do Egipto, passando por um sem número de templos até aos nossos dias. Um exemplo que ilustra bem a sua utilização é o edifício das Nações Unidas.

- Música

    O número de ouro está presente nas famosas sinfonias como a 5ª e 9ª de Bethoven e em outras diversas obras.

- Fractais

         A sucessão de Fibonacci é o exemplo de um Fractal obtido a partir da sucessão infinita binária de 0 e 1:

101101011011010110...

- Música

      Actualmente a proporção áurea ainda é muito usada. A padronizar internacionalmente as medidas usadas em nosso dia-a-dia, os ciêntistas procuraram "respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um cartão multibanco, alguns livros, Jornal, foto revelada...